संख्या प्रणाली (Number System)

गणितीय और तार्किक अध्ययन (Master Notes)

UPSC CSAT, RO/ARO & Computer Operator Special

1. संख्या प्रणाली: परिचय और प्रकार

कंप्यूटर केवल 0 और 1 (विद्युत संकेत) समझता है। नंबर सिस्टम को उसके आधार (Base/Radix) से पहचाना जाता है।

सिस्टम (System)	आधार (Base)	अंक (Digits Used)	उदाहरण (Example)
Binary	2	0, 1	$(1010)_2$
Octal	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	$(17)_8$ (8 और 9 नहीं होते)
Decimal	10	0 से 9 (मानव भाषा)	$(25)_{10}$
Hexadecimal	16	0-9 और A-F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)	$(2A5)_{16}$

2. डेसिमल और बाइनरी कन्वर्जन (Most Important)

A. Decimal को Binary में बदलना (भाग विधि)

नियम: संख्या को 2 से भाग दें और शेषफल (Remainder) को नोट करें।

Example: 25 का बाइनरी निकालें?

2 | 25 | 1 (Remainder)
2 | 12 | 0
2 | 6 | 0
2 | 3 | 1
2 | 1 | 1
| 0 |

लिखने का क्रम: नीचे से ऊपर (Bottom to Top)

उत्तर: (11001)₂

B. Binary को Decimal में बदलना (गुणा विधि)

नियम: दाएं से बाएं (Right to Left) $2^0, 2^1, 2^2$ से गुणा करें।

Example: (11001)₂ का डेसिमल?

1 × 2⁰ = 1
0 × 2¹ = 0
0 × 2² = 0
1 × 2³ = 8
1 × 2⁴ = 16
-----------------
Total = 25

उत्तर: (25)₁₀

⚡ Exam Shortcut Trick (8-4-2-1)

सीरीज़ याद रखें: ... 32, 16, 8, 4, 2, 1

Q. 25 का बाइनरी?
1. 25 बनाने के लिए किसे जोड़ें? 16 + 8 + 1 = 25
2. इनके नीचे '1' लिखें, बाकी के नीचे '0'।
16(1), 8(1), 4(0), 2(0), 1(1) → 11001

3. ऑक्टल और हेक्साडेसिमल कन्वर्जन

Binary to Octal

नियम: 3-बिट के जोड़े बनाएं। (दाएं से बाएं)।


                                Q: (110101)₂ → Octal

                                Pair: 110 | 101

                                Val :  6  |  5

                                Ans : (65)₈

Binary to Hexadecimal

नियम: 4-बिट के जोड़े बनाएं।


                                Q: (11011010)₂ → Hexa

                                Pair: 1101 | 1010

                                Val :  13  |  10

                                Hex :   D  |   A

                                Ans : (DA)₁₆

4. कंप्यूटर कोड्स (Computer Codes)

ASCII (American Standard Code for Information Interchange):
यह 7-बिट या 8-बिट कोड है। कीबोर्ड के हर बटन का ASCII कोड होता है।
A = 65, B = 66 ... Z = 90
a = 97, b = 98 ... z = 122
BCD (Binary Coded Decimal): हर डेसिमल अंक को 4-बिट बाइनरी में लिखते हैं।
UNICODE: दुनिया की सभी भाषाओं (हिंदी, चीनी, इमोजी) के लिए। (16/32 bit)।
EBCDIC: IBM मेनफ्रेम के लिए 8-बिट कोड।

5. लॉजिक गेट्स (Logic Gates)

ये डिजिटल सर्किट के बिल्डिंग ब्लॉक हैं।

गेट (Gate)	लॉजिक (Logic)	समीकरण (Formula)	Truth Table (Input A, B → Output Y)
AND	दोनों 1 होने पर ही 1 आएगा। (गुणा)	Y = A . B	0.0=0 \| 0.1=0 \| 1.0=0 \| 1.1=1
OR	कोई एक 1 होने पर 1 आएगा। (जोड़)	Y = A + B	0+0=0 \| 0+1=1 \| 1+0=1 \| 1+1=1
NOT	उल्टा कर देता है। (Inverter)	Y = A̅ (Bar)	0 → 1 \| 1 → 0
NAND	AND का उल्टा (Not AND)	Y = (A.B)'	1.1 = 0, बाकी सब 1
NOR	OR का उल्टा (Not OR)	Y = (A+B)'	0+0 = 1, बाकी सब 0

* NAND और NOR को Universal Gates कहते हैं क्योंकि इनसे बाकी सभी गेट बनाए जा सकते हैं।

6. बूलियन अलजेब्रा और बाइनरी अर्थमैटिक

कंप्यूटर में नकारात्मक संख्याओं (Negative Numbers) को 1's और 2's कॉम्प्लीमेंट के द्वारा दर्शाया जाता है।

1's Complement (पहला पूरक)

इसमें 0 को 1 और 1 को 0 बना देते हैं।


                                Q: 10110 का 1's Complement?

                                Ans: 01001 (उल्टा कर दिया)

2's Complement (दूसरा पूरक)

1's Complement में 1 जोड़ दें। (1's + 1)


                                Q: 10110 का 2's Complement?

                                Step 1 (1's): 01001

                                Step 2 (+1): 01001 + 1 = 01010

De Morgan's Laws (डी-मॉर्गन नियम)

(A . B)' = A' + B' (NAND = Bubbled OR)
(A + B)' = A' . B' (NOR = Bubbled AND)

🎯 परीक्षा विशेषांक (Exam Capsules)

Q. हेक्साडेसिमल में 'C' का मान क्या है?
A. 12 (A=10, B=11, C=12).

Q. 1 बाइट में कितने बिट?
A. 8 बिट। (1 निबल = 4 बिट).

Q. ऑक्टल सिस्टम का बेस क्या है?
A. 8 (अंक 0 से 7)।

Q. यूनिवर्सल गेट (Universal Gates) कौन से हैं?
A. NAND और NOR।

Q. बाइनरी जोड़: 1 + 1 = ?
A. 10 (जिसमें 0 लिखते हैं और 1 कैरी जाता है)।

Q. ASCII में 'A' का कोड?
A. 65.

Q. NOT गेट को और क्या कहते हैं?
A. Inverter (उल्टा करने वाला).

Q. बाइनरी नंबर (101)₂ का डेसिमल?
A. 5. (4+0+1).